Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = 10 x^{3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 10 x^{3}$ como una ecuación.

$y = 10 x^{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 10 y^{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $10 y^{3} = x$ .

$10 y^{3} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $10 y^{3} = x$ por $10$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $10 y^{3} = x$ por $10$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{10}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Paso 3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Paso 3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ como $10$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{10}$ como $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Paso 3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ como $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Paso 3.4.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Paso 3.4.5.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ es la inversa de $f (x) = 10 x^{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (10 x^{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $100$ por $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $1000 x^{3}$ como ${(10 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Paso 5.2.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Paso 5.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ como $100 x$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{100 x}$ como ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Paso 5.3.4.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Paso 5.3.5

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $10$ de $1000$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $100$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Paso 5.3.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ es la inversa de $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$